Solución de ejercicios de Relaciones

 1. Determine cuáles de las siguientes son relaciones de A = {a, b, c} en B = {1, 2}:

(a) R1 = {(a, 1), (a, 2), (c, 2)}

(b) R3 = {(c, 1), (c, 2), (c, 3)}

2. ¿Cuáles son los rangos de las relaciones: S = {(x, x2) | x ∈ N} y T = {(x, 2x) | x ∈ N} donde: N = {0,1, 2, …}?

3. Para la siguiente relación, indique si es: reflexiva, no reflexiva, simétrica o transitiva: Sean (x) e (y) niños, y sea xRy verdadera si (x) es un hermano de (y) o si (x) = (y).

4. Para la siguiente relación (sobre el conjunto de los seres humanos), indique sus propiedades x R y representa que x e y tienen los mismos padres.

5. Sea R = {(1, a), (2, b), (1, c)} y S = {(a, A), (a, B), (c, D). Calcular R U S

SOLUCIÓN:

1. Relaciones de A en B:

(a) R1 = {(a, 1), (a, 2), (c, 2)}

• 
  
• Sí es una relación de A en B, ya que todos los elementos de A tienen al menos un par ordenado en R1.

(b) R3 = {(c, 1), (c, 2), (c, 3)}

• No es una relación de A en B, ya que b no tiene ningún par ordenado en R3.

2. Rangos de las relaciones:

(a) S = {(x, x^2) | x ∈ N}

• El rango de S es el conjunto de todos los cuadrados perfectos. Rango(S) = {0, 1, 4, 9, 16, ...}

(b) T = {(x, 2x) | x ∈ N}

• El rango de T es el conjunto de todos los números pares. Rango(T) = {0, 2, 4, 6, 8, ...}

3. Propiedades de la relación:

Sean (x) e (y) niños, y sea xRy verdadera si (x) es un hermano de (y) o si (x) = (y).

• Reflexiva: Sí, ya que cada niño es hermano de sí mismo (reflexividad) y también satisface la condición x = y.
• No reflexiva: No aplica, ya que es reflexiva.
• Simétrica: Sí, ya que si (x) es hermano de (y), entonces (y) es hermano de (x).
• Transitiva: No se puede determinar con certeza sin más información. Si dos niños tienen el mismo padre, y ese padre tiene otro hijo, entonces se cumple la transitividad. Pero si dos niños son hermanos de diferentes padres, no se cumple la transitividad.

4. Propiedades de la relación:

Sean x R y representa que x e y tienen los mismos padres.

• Reflexiva: Sí, ya que cada persona tiene los mismos padres consigo misma.
• No reflexiva: No aplica, ya que es reflexiva.
• Simétrica: Sí, ya que si xRy, entonces yRx, ya que tener los mismos padres es una relación simétrica.
• Transitiva: Sí, ya que si xRy (tienen los mismos padres) y yRz (tienen los mismos padres), entonces xRz (tienen los mismos padres).

5. Unión de relaciones R y S:

R∪S={(1,a),(2,b),(1,c),(a,A),(a,B),(c,D)}

Es simplemente la unión de los conjuntos de pares ordenados de R y S.